ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Учебный курс «Алгебра и начала математического анализа» является одним из наиболее значимых в программе среднего общего образования, поскольку,
с одной стороны, он обеспечивает инструментальную базу для изучения всех естественно-научных курсов, а с другой стороны, формирует логическое и
абстрактное мышление обучающихся на уровне, необходимом для освоения информатики, обществознания, истории, словесности и других дисциплин. В
рамках данного учебного курса обучающиеся овладевают универсальным языком современной науки, которая формулирует свои достижения в
математической форме.
Учебный курс алгебры и начал математического анализа закладывает основу для успешного овладения законами физики, химии, биологии, понимания
основных тенденций развития экономики и общественной жизни, позволяет ориентироваться в современных цифровых и компьютерных технологиях,
уверенно использовать их для дальнейшего образования и в повседневной жизни. В то же время овладение абстрактными и логически строгими
конструкциями алгебры и математического анализа развивает умение находить закономерности, обосновывать истинность, доказывать утверждения с
помощью индукции и рассуждать дедуктивно, использовать обобщение и конкретизацию, абстрагирование и аналогию, формирует креативное и
критическое мышление.
В ходе изучения учебного курса «Алгебра и начала математического анализа» обучающиеся получают новый опыт решения прикладных задач,
самостоятельного построения математических моделей реальных ситуаций, интерпретации полученных решений, знакомятся с примерами математических
закономерностей в природе, науке и искусстве, с выдающимися математическими открытиями и их авторами.
Учебный курс обладает значительным воспитательным потенциалом, который реализуется как через учебный материал, способствующий формированию
научного мировоззрения, так и через специфику учебной деятельности, требующей продолжительной концентрации внимания, самостоятельности,
аккуратности и ответственности за полученный результат.
В основе методики обучения алгебре и началам математического анализа лежит деятельностный принцип обучения.
В структуре учебного курса «Алгебра и начала математического анализа» выделены следующие содержательно-методические линии: «Числа и
вычисления», «Функции и графики», «Уравнения и неравенства», «Начала математического анализа», «Множества и логика». Все основные
содержательно-методические линии изучаются на протяжении двух лет обучения на уровне среднего общего образования, естественно дополняя друг друга
и постепенно насыщаясь новыми темами и разделами. Данный учебный курс является интегративным, поскольку объединяет в себе содержание нескольких
математических дисциплин, таких как алгебра, тригонометрия, математический анализ, теория множеств, математическая логика и другие. По мере того
как обучающиеся овладевают всё более широким математическим аппаратом, у них последовательно формируется и совершенствуется умение строить
математическую модель реальной ситуации, применять знания, полученные при изучении учебного курса, для решения самостоятельно сформулированной
математической задачи, а затем интерпретировать свой ответ.
Содержательно-методическая линия «Числа и вычисления» завершает формирование навыков использования действительных чисел, которое было начато
на уровне основного общего образования. На уровне среднего общего образования особое внимание уделяется формированию навыков рациональных
вычислений, включающих в себя использование различных форм записи числа, умение делать прикидку, выполнять приближённые вычисления, оценивать
числовые выражения, работать с математическими константами. Знакомые обучающимся множества натуральных, целых, рациональных и действительных
чисел дополняются множеством комплексных чисел. В каждом из этих множеств рассматриваются свойственные ему специфические задачи и операции:
деление нацело, оперирование остатками на множестве целых чисел, особые свойства рациональных и иррациональных чисел, арифметические операции,
а также извлечение корня натуральной степени на множестве комплексных чисел. Благодаря последовательному расширению круга используемых чисел
и знакомству с возможностями их применения для решения различных задач формируется представление о единстве математики как науки и её роли в
построении моделей реального мира, широко используются обобщение и конкретизация.
Линия «Уравнения и неравенства» реализуется на протяжении всего обучения на уровне среднего общего образования, поскольку в каждом разделе
Программы предусмотрено решение соответствующих задач. В результате обучающиеся овладевают различными методами решения рациональных,
иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений, неравенств и систем, а также задач, содержащих параметры.
Полученные умения широко используются при исследовании функций с помощью производной, при решении прикладных задач и задач на нахождение
наибольших и наименьших значений функции. Данная содержательная линия включает в себя также формирование умений выполнять расчёты по
формулам, преобразования рациональных, иррациональных и тригонометрических выражений, а также выражений, содержащих степени и логарифмы.
Благодаря изучению алгебраического материала происходит дальнейшее развитие алгоритмического и абстрактного мышления обучающихся,
формируются навыки дедуктивных рассуждений, работы с символьными формами, представления закономерностей и зависимостей в виде равенств и
неравенств. Алгебра предлагает эффективные инструменты для решения практических и естественно-научных задач, наглядно демонстрирует свои
возможности как языка науки.
Содержательно-методическая линия «Функции и графики» тесно переплетается с другими линиями учебного курса, поскольку в каком-то смысле задаёт
последовательность изучения материала. Изучение степенной, показательной, логарифмической и тригонометрических функций, их свойств и графиков,
использование функций для решения задач из других учебных предметов и реальной жизни тесно связано как с математическим анализом, так и с решением
уравнений и неравенств. При этом большое внимание уделяется формированию умения выражать формулами зависимости между различными величинами,
исследовать полученные функции, строить их графики. Материал этой содержательной линии нацелен на развитие умений и навыков, позволяющих
выражать зависимости между величинами в различной форме: аналитической, графической и словесной. Его изучение способствует развитию
алгоритмического мышления, способности к обобщению и конкретизации, использованию аналогий.
Содержательная линия «Начала математического анализа» позволяет существенно расширить круг как математических, так и прикладных задач, доступных
обучающимся, так как у них появляется возможность строить графики сложных функций, определять их наибольшие и наименьшие значения, вычислять
площади фигур и объёмы тел, находить скорости и ускорения процессов. Данная содержательная линия открывает новые возможности построения
математических моделей реальных ситуаций, позволяет находить наилучшее решение в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах.
Знакомство с основами математического анализа способствует развитию абстрактного, формально-логического и креативного мышления, формированию
умений распознавать проявления законов математики в науке, технике и искусстве. Обучающиеся узнают о выдающихся результатах, полученных в ходе
развития математики как науки, и об их авторах.
Содержательно-методическая линия «Множества и логика» включает в себя элементы теории множеств и математической логики. Теоретикомножественные представления пронизывают весь курс школьной математики и предлагают наиболее универсальный язык, объединяющий все разделы
математики и её приложений, они связывают разные математические дисциплины и их приложения в единое целое. Поэтому важно дать возможность
обучающемуся понимать теоретико-множественный язык современной математики и использовать его для выражения своих мыслей. Другим важным
признаком математики как науки следует признать свойственную ей строгость обоснований и следование определённым правилам построения
доказательств. Знакомство с элементами математической логики способствует развитию логического мышления обучающихся, позволяет им строить свои
рассуждения на основе логических правил, формирует навыки критического мышления.
В учебном курсе «Алгебра и начала математического анализа» присутствуют основы математического моделирования, которые призваны способствовать
формированию навыков построения моделей реальных ситуаций, исследования этих моделей с помощью аппарата алгебры и математического анализа,
интерпретации полученных результатов. Такие задания вплетены в каждый из разделов программы, поскольку весь материал учебного курса широко
используется для решения прикладных задач. При решении реальных практических задач обучающиеся развивают наблюдательность, умение находить
закономерности, абстрагироваться, использовать аналогию, обобщать и конкретизировать проблему. Деятельность по формированию навыков решения
прикладных задач организуется в процессе изучения всех тем учебного курса «Алгебра и начала математического анализа».
На изучение учебного курса «Алгебра и начала математического анализа» отводится 272 часа: в 10 классе – 136 часов (4 часа в неделю), в 11 классе – 136
часов (4 часа в неделю).
СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
10 КЛАСС
Числа и вычисления
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби. Применение дробей и процентов для решения
прикладных задач из различных отраслей знаний и реальной жизни.
Действительные числа. Рациональные и иррациональные числа. Арифметические операции с действительными числами. Модуль действительного числа и
его свойства. Приближённые вычисления, правила округления, прикидка и оценка результата вычислений.
Степень с целым показателем. Бином Ньютона. Использование подходящей формы записи действительных чисел для решения практических задач и
представления данных.
Арифметический корень натуральной степени и его свойства.
Степень с рациональным показателем и её свойства, степень с действительным показателем.
Логарифм числа. Свойства логарифма. Десятичные и натуральные логарифмы.
Синус, косинус, тангенс, котангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус и арктангенс числового аргумента.
Уравнения и неравенства
Тождества и тождественные преобразования. Уравнение, корень уравнения. Равносильные уравнения и уравнения-следствия. Неравенство, решение
неравенства.
Основные методы решения целых и дробно-рациональных уравнений и неравенств. Многочлены от одной переменной. Деление многочлена на многочлен
с остатком. Теорема Безу. Многочлены с целыми коэффициентами. Теорема Виета.
Преобразования числовых выражений, содержащих степени и корни.
Иррациональные уравнения. Основные методы решения иррациональных уравнений.
Показательные уравнения. Основные методы решения показательных уравнений.
Преобразование выражений, содержащих логарифмы.
Логарифмические уравнения. Основные методы решения логарифмических уравнений.
Основные тригонометрические формулы. Преобразование тригонометрических выражений. Решение тригонометрических уравнений.
Решение систем линейных уравнений. Матрица системы линейных уравнений. Определитель матрицы 2×2, его геометрический смысл и свойства,
вычисление его значения, применение определителя для решения системы линейных уравнений. Решение прикладных задач с помощью системы линейных
уравнений. Исследование построенной модели с помощью матриц и определителей.
Построение математических моделей реальной ситуации с помощью уравнений и неравенств. Применение уравнений и неравенств к решению
математических задач и задач из различных областей науки и реальной жизни.
Функции и графики
Функция, способы задания функции. Взаимно обратные функции. Композиция функций. График функции. Элементарные преобразования графиков
функций.
Область определения и множество значений функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства. Чётные и нечётные функции. Периодические
функции. Промежутки монотонности функции. Максимумы и минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.
Линейная, квадратичная и дробно-линейная функции. Элементарное исследование и построение их графиков.
Степенная функция с натуральным и целым показателем. Её свойства и график. Свойства и график корня n-ой степени как функции обратной степени с
натуральным показателем.
Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики. Использование графиков функций для решения уравнений.
Тригонометрическая окружность, определение тригонометрических функций числового аргумента.
Функциональные зависимости в реальных процессах и явлениях. Графики реальных зависимостей.
Начала математического анализа
Последовательности, способы задания последовательностей. Метод математической индукции. Монотонные и ограниченные последовательности. История
возникновения математического анализа как анализа бесконечно малых.
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии. Линейный и экспоненциальный рост. Число е. Формула сложных процентов. Использование прогрессии для решения реальных задач
прикладного характера.
Непрерывные функции и их свойства. Точки разрыва. Асимптоты графиков функций. Свойства функций непрерывных на отрезке. Метод интервалов для
решения неравенств. Применение свойств непрерывных функций для решения задач.
Первая и вторая производные функции. Определение, геометрический и физический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции.
Производные элементарных функций. Производная суммы, произведения, частного и композиции функций.
Множества и логика
Множество, операции над множествами и их свойства. Диаграммы Эйлера–Венна. Применение теоретико-множественного аппарата для описания
реальных процессов и явлений, при решении задач из других учебных предметов.
Определение, теорема, свойство математического объекта, следствие, доказательство, равносильные уравнения.
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА «АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА» (УГЛУБЛЕННЫЙ УРОВЕНЬ) НА УРОВНЕ
СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
1) гражданского воспитания:
сформированность гражданской позиции обучающегося как активного и ответственного члена российского общества, представление о
математических основах функционирования различных структур, явлений, процедур гражданского общества (выборы, опросы и другое),
умение взаимодействовать с социальными институтами в соответствии с их функциями и назначением;
2) патриотического воспитания:
сформированность российской гражданской идентичности, уважения к прошлому и настоящему российской математики, ценностное
отношение к достижениям российских математиков и российской математической школы, использование этих достижений в других науках,
технологиях, сферах экономики;
3) духовно-нравственного воспитания:
осознание духовных ценностей российского народа, сформированность нравственного сознания, этического поведения, связанного с
практическим применением достижений науки и деятельностью учёного, осознание личного вклада в построение устойчивого будущего;
4) эстетического воспитания:
эстетическое отношение к миру, включая эстетику математических закономерностей, объектов, задач, решений, рассуждений,
восприимчивость к математическим аспектам различных видов искусства;
5) физического воспитания:
сформированность умения применять математические знания в интересах здорового и безопасного образа жизни, ответственное отношение к
своему здоровью (здоровое питание, сбалансированный режим занятий и отдыха, регулярная физическая активность), физическое
совершенствование при занятиях спортивно-оздоровительной деятельностью;
6) трудового воспитания:
готовность к труду, осознание ценности трудолюбия, интерес к различным сферам профессиональной деятельности, связанным с математикой
и её приложениями, умение совершать осознанный выбор будущей профессии и реализовывать собственные жизненные планы, готовность и
способность к математическому образованию и самообразованию на протяжении всей жизни, готовность к активному участию в решении
практических задач математической направленности;
7) экологического воспитания:
сформированность экологической культуры, понимание влияния социально-экономических процессов на состояние природной и социальной
среды, осознание глобального характера экологических проблем, ориентация на применение математических знаний для решения задач в
области окружающей среды, планирование поступков и оценки их возможных последствий для окружающей среды;
8) ценности научного познания:
сформированность мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и общественной практики, понимание
математической науки как сферы человеческой деятельности, этапов её развития и значимости для развития цивилизации, овладение языком
математики и математической культурой как средством познания мира, готовность осуществлять проектную и исследовательскую
деятельность индивидуально и в группе.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Познавательные универсальные учебные действия
Базовые логические действия:
выявлять и характеризовать существенные признаки математических объектов, понятий, отношений между понятиями, формулировать
определения понятий, устанавливать существенный признак классификации, основания для обобщения и сравнения, критерии проводимого
анализа;
воспринимать, формулировать и преобразовывать суждения: утвердительные и отрицательные, единичные, частные и общие, условные;
выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия в фактах, данных, наблюдениях и утверждениях, предлагать критерии
для выявления закономерностей и противоречий;
делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и индуктивных умозаключений, умозаключений по аналогии;
проводить самостоятельно доказательства математических утверждений (прямые и от противного), выстраивать аргументацию, приводить
примеры и контрпримеры, обосновывать собственные суждения и выводы;
выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько вариантов решения, выбирать наиболее подходящий с учётом
самостоятельно выделенных критериев).
Базовые исследовательские действия:
использовать вопросы как исследовательский инструмент познания, формулировать вопросы, фиксирующие противоречие, проблему,
устанавливать искомое и данное, формировать гипотезу, аргументировать свою позицию, мнение;
проводить самостоятельно спланированный эксперимент, исследование по установлению особенностей математического объекта, явления,
процесса, выявлению зависимостей между объектами, явлениями, процессами;
самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам проведённого наблюдения, исследования, оценивать достоверность
полученных результатов, выводов и обобщений;
прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать предположения о его развитии в новых условиях.
Работа с информацией:
выявлять дефициты информации, данных, необходимых для ответа на вопрос и для решения задачи;
выбирать информацию из источников различных типов, анализировать, систематизировать и интерпретировать информацию различных видов
и форм представления;
структурировать информацию, представлять её в различных формах, иллюстрировать графически;
оценивать надёжность информации по самостоятельно сформулированным критериям.
Коммуникативные универсальные учебные действия
Общение:
воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и целями общения, ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения
в устных и письменных текстах, давать пояснения по ходу решения задачи, комментировать полученный результат;
в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы, проблемы, решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск
решения, сопоставлять свои суждения с суждениями других участников диалога, обнаруживать различие и сходство позиций, в корректной
форме формулировать разногласия, свои возражения;
представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования, проекта, самостоятельно выбирать формат выступления с учётом задач
презентации и особенностей аудитории.
Регулятивные универсальные учебные действия
Самоорганизация:
составлять план, алгоритм решения задачи, выбирать способ решения с учётом имеющихся ресурсов и собственных возможностей,
аргументировать и корректировать варианты решений с учётом новой информации.
Самоконтроль, эмоциональный интеллект:
владеть навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов, владеть
способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата решения математической задачи;
предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи, вносить коррективы в деятельность на основе новых обстоятельств,
данных, найденных ошибок, выявленных трудностей;
оценивать соответствие результата цели и условиям, объяснять причины достижения или недостижения результатов деятельности, находить
ошибку, давать оценку приобретённому опыту.
Совместная деятельность:
понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной работы при решении учебных задач, принимать цель совместной
деятельности, планировать организацию совместной работы, распределять виды работ, договариваться, обсуждать процесс и результат
работы, обобщать мнения нескольких людей;
участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнений, «мозговые штурмы» и иные), выполнять свою часть работы и
координировать свои действия с другими членами команды, оценивать качество своего вклада в общий продукт по критериям,
сформулированным участниками взаимодействия.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
К концу обучения в 10 классе обучающийся получит следующие предметные результаты по отдельным темам рабочей программы учебного курса «Алгебра
и начала математического анализа»:
Числа и вычисления:
свободно оперировать понятиями: рациональное число, бесконечная периодическая дробь, проценты, иррациональное число, множества рациональных и
действительных чисел, модуль действительного числа;
применять дроби и проценты для решения прикладных задач из различных отраслей знаний и реальной жизни;
применять приближённые вычисления, правила округления, прикидку и оценку результата вычислений;
свободно оперировать понятием: степень с целым показателем, использовать подходящую форму записи действительных чисел для решения практических
задач и представления данных;
свободно оперировать понятием: арифметический корень натуральной степени;
свободно оперировать понятием: степень с рациональным показателем;
свободно оперировать понятиями: логарифм числа, десятичные и натуральные логарифмы;
свободно оперировать понятиями: синус, косинус, тангенс, котангенс числового аргумента;
оперировать понятиями: арксинус, арккосинус и арктангенс числового аргумента.
Уравнения и неравенства:
свободно оперировать понятиями: тождество, уравнение, неравенство, равносильные уравнения и уравнения-следствия, равносильные неравенства;
применять различные методы решения рациональных и дробно-рациональных уравнений, применять метод интервалов для решения неравенств;
свободно оперировать понятиями: многочлен от одной переменной, многочлен с целыми коэффициентами, корни многочлена, применять деление
многочлена на многочлен с остатком, теорему Безу и теорему Виета для решения задач;
свободно оперировать понятиями: система линейных уравнений, матрица, определитель матрицы 2 × 2 и его геометрический смысл, использовать свойства
определителя 2 × 2 для вычисления его значения, применять определители для решения системы линейных уравнений, моделировать реальные ситуации с
помощью системы линейных уравнений, исследовать построенные модели с помощью матриц и определителей, интерпретировать полученный результат;
использовать свойства действий с корнями для преобразования выражений;
выполнять преобразования числовых выражений, содержащих степени с рациональным показателем;
использовать свойства логарифмов для преобразования логарифмических выражений;
свободно оперировать понятиями: иррациональные, показательные и логарифмические уравнения, находить их решения с помощью равносильных
переходов или осуществляя проверку корней;
применять основные тригонометрические формулы для преобразования тригонометрических выражений;
свободно оперировать понятием: тригонометрическое уравнение, применять необходимые формулы для решения основных типов тригонометрических
уравнений;
моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять выражения, уравнения, неравенства по условию задачи, исследовать построенные модели
с использованием аппарата алгебры.
Функции и графики:
свободно оперировать понятиями: функция, способы задания функции, взаимно обратные функции, композиция функций, график функции, выполнять
элементарные преобразования графиков функций;
свободно оперировать понятиями: область определения и множество значений функции, нули функции, промежутки знакопостоянства;
свободно оперировать понятиями: чётные и нечётные функции, периодические функции, промежутки монотонности функции, максимумы и минимумы
функции, наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке;
свободно оперировать понятиями: степенная функция с натуральным и целым показателем, график степенной функции с натуральным и целым
показателем, график корня n-ой степени как функции обратной степени с натуральным показателем;
оперировать понятиями: линейная, квадратичная и дробно-линейная функции, выполнять элементарное исследование и построение их графиков;
свободно оперировать понятиями: показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики, использовать их графики для решения уравнений;
свободно оперировать понятиями: тригонометрическая окружность, определение тригонометрических функций числового аргумента;
использовать графики функций для исследования процессов и зависимостей при решении задач из других учебных предметов и реальной жизни, выражать
формулами зависимости между величинами;
Начала математического анализа:
свободно оперировать понятиями: арифметическая и геометрическая прогрессия, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, линейный и
экспоненциальный рост, формула сложных процентов, иметь представление о константе;
использовать прогрессии для решения реальных задач прикладного характера;
свободно оперировать понятиями: последовательность, способы задания последовательностей, монотонные и ограниченные последовательности, понимать
основы зарождения математического анализа как анализа бесконечно малых;
свободно оперировать понятиями: непрерывные функции, точки разрыва графика функции, асимптоты графика функции;
свободно оперировать понятием: функция, непрерывная на отрезке, применять свойства непрерывных функций для решения задач;
свободно оперировать понятиями: первая и вторая производные функции, касательная к графику функции;
вычислять производные суммы, произведения, частного и композиции двух функций, знать производные элементарных функций;
использовать геометрический и физический смысл производной для решения задач.
Множества и логика:
свободно оперировать понятиями: множество, операции над множествами;
использовать теоретико-множественный аппарат для описания реальных процессов и явлений, при решении задач из других учебных предметов;
свободно оперировать понятиями: определение, теорема, уравнение-следствие, свойство математического объекта, доказательство, равносильные
уравнения и неравенства.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
10 КЛАСС
№ Наименование разделов и тем программы
п/п
Количество часов
Всего Контрольные
работы
Практические
работы
1
Множество действительных чисел. Многочлены. Рациональные
уравнения и неравенства. Системы линейных уравнений
24
1
0
2
Функции и графики. Степенная функция с целым показателем
12
1
0
3
Арифметический корень n-ой степени. Иррациональные уравнения
15
1
0
4
Показательная функция. Показательные уравнения
10
1
0
5
Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения
18
1
0
Электронные (цифровые)
образовательные ресурсы
№ Наименование разделов и тем программы
п/п
Количество часов
Электронные (цифровые)
образовательные ресурсы
Всего Контрольные
работы
Практические
работы
6
Тригонометрические выражения и уравнения
22
1
0
7
Последовательности и прогрессии
10
1
0
8
Непрерывные функции. Производная
20
1
0
9
Повторение, обобщение, систематизация знаний
5
2
0
136
10
0
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ
ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
10 КЛАСС
№ Тема урока
п/п
Количество часов
Всего Контрольные
работы
Практические
работы
1
[[Множество, операции над множествами и их свойства
1
0
0
2
Диаграммы Эйлера-Венна
1
0
0
3
Применение теоретико-множественного аппарата для решения задач
1
0
0
4
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты,
бесконечные периодические дроби
1
0
0
5
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты,
бесконечные периодические дроби
1
0
0
6
Применение дробей и процентов для решения прикладных задач
1
0
0
Электронные цифровые
образовательные ресурсы
№ Тема урока
п/п
Количество часов
Электронные цифровые
образовательные ресурсы
Всего Контрольные
работы
Практические
работы
7
Применение дробей и процентов для решения прикладных задач
1
0
0
8
Действительные числа. Рациональные и иррациональные числа
1
0
0
9
Арифметические операции с действительными числами
1
0
0
10
Модуль действительного числа и его свойства
1
0
0
11
Приближённые вычисления, правила округления, прикидка и оценка
результата вычислений
1
0
0
12
Основные методы решения целых и дробно-рациональных уравнений и
неравенств
1
0
0
13
Основные методы решения целых и дробно-рациональных уравнений и
неравенств
1
0
0
14
Основные методы решения целых и дробно-рациональных уравнений и
неравенств
1
0
0
15
Многочлены от одной переменной. Деление многочлена на многочлен с
остатком. Теорема Безу
1
0
0
16
Многочлены с целыми коэффициентами. Теорема Виета
1
0
0
17
Решение систем линейных уравнений
1
0
0
18
Решение систем линейных уравнений
1
0
0
19
Матрица системы линейных уравнений. Определитель матрицы 2×2, его
геометрический смысл и свойства; вычисление его значения
1
0
0
№ Тема урока
п/п
Количество часов
Электронные цифровые
образовательные ресурсы
Всего Контрольные
работы
Практические
работы
20
Определитель матрицы 2×2, его геометрический смысл и свойства;
вычисление его значения
1
0
0
21
Применение определителя для решения системы линейных уравнений
1
0
0
22
Решение прикладных задач с помощью системы линейных уравнений
1
0
0
23
Решение прикладных задач с помощью системы линейных уравнений
1
0
0
24
Контрольная работа: "Рациональные уравнения и неравенства. Системы
линейных уравнений"
1
1
0
25
Функция, способы задания функции. Взаимно обратные функции.
Композиция функций
1
0
0
26
График функции. Элементарные преобразования графиков функций
1
0
0
27
Область определения и множество значений функции. Нули функции.
Промежутки знак постоянства
1
0
0
28
Чётные и нечётные функции. Периодические функции. Промежутки
монотонности функции
1
0
0
29
Максимумы и минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение 1
функции на промежутке
0
0
30
Линейная, квадратичная и дробно-линейная функции
1
0
0
31
Элементарное исследование и построение графиков этих функций
1
0
0
32
Элементарное исследование и построение графиков этих функций
1
0
0
33
Степень с целым показателем. Бином Ньютона
1
0
0
№ Тема урока
п/п
Количество часов
Электронные цифровые
образовательные ресурсы
Всего Контрольные
работы
Практические
работы
34
Степень с целым показателем. Бином Ньютона
1
0
0
35
Степенная функция с натуральным и целым показателем. Её свойства и
график
1
0
0
36
Контрольная работа: "Степенная функция. Её свойства и график"
1
1
0
37
Арифметический корень натуральной степени и его свойства
1
0
0
38
Арифметический корень натуральной степени и его свойства
1
0
0
39
Преобразования числовых выражений, содержащих степени и корни
1
0
0
40
Преобразования числовых выражений, содержащих степени и корни
1
0
0
41
Преобразования числовых выражений, содержащих степени и корни
1
0
0
42
Иррациональные уравнения. Основные методы решения
иррациональных уравнений
1
0
0
43
Иррациональные уравнения. Основные методы решения
иррациональных уравнений
1
0
0
44
Иррациональные уравнения. Основные методы решения
иррациональных уравнений
1
0
0
45
Равносильные переходы в решении иррациональных уравнений
1
0
0
46
Равносильные переходы в решении иррациональных уравнений
1
0
0
47
Равносильные переходы в решении иррациональных уравнений
1
0
0
48
Равносильные переходы в решении иррациональных уравнений
1
0
0
№ Тема урока
п/п
Количество часов
Электронные цифровые
образовательные ресурсы
Всего Контрольные
работы
Практические
работы
49
Свойства и график корня n-ой степени как функции обратной степени с
натуральным показателем
1
0
0
50
Свойства и график корня n-ой степени как функции обратной степени с
натуральным показателем
1
0
0
51
Контрольная работа: "Свойства и график корня n-ой степени.
Иррациональные уравнения"
1
1
0
52
Степень с рациональным показателем и её свойства
1
0
0
53
Степень с рациональным показателем и её свойства
1
0
0
54
Степень с рациональным показателем и её свойства
1
0
0
55
Показательная функция, её свойства и график
1
0
0
56
Использование графика функции для решения уравнений
1
0
0
57
Использование графика функции для решения уравнений
1
0
0
58
Показательные уравнения. Основные методы решения показательных
уравнений
1
0
0
59
Показательные уравнения. Основные методы решения показательных
уравнений
1
0
0
60
Показательные уравнения. Основные методы решения показательных
уравнений
1
0
0
61
Контрольная работа: "Показательная функция. Показательные уравнения" 1
1
0
62
Логарифм числа. Свойства логарифма
0
0
1
№ Тема урока
п/п
Количество часов
Электронные цифровые
образовательные ресурсы
Всего Контрольные
работы
Практические
работы
63
Логарифм числа. Свойства логарифма
1
0
0
64
Логарифм числа. Свойства логарифма
1
0
0
65
Десятичные и натуральные логарифмы
1
0
0
66
Десятичные и натуральные логарифмы
1
0
0
67
Преобразование выражений, содержащих логарифмы
1
0
0
68
Преобразование выражений, содержащих логарифмы
1
0
0
69
Преобразование выражений, содержащих логарифмы
1
0
0
70
Логарифмическая функция, её свойства и график
1
0
0
71
Логарифмическая функция, её свойства и график
1
0
0
72
Использование графика функции для решения уравнений
1
0
0
73
Использование графика функции для решения уравнений
1
0
0
74
Логарифмические уравнения. Основные методы решения
логарифмических уравнений
1
0
0
75
Логарифмические уравнения. Основные методы решения
логарифмических уравнений
1
0
0
76
Логарифмические уравнения. Основные методы решения
логарифмических уравнений
1
0
0
77
Равносильные переходы в решении логарифмических уравнений
1
0
0
№ Тема урока
п/п
Количество часов
Электронные цифровые
образовательные ресурсы
Всего Контрольные
работы
Практические
работы
78
Равносильные переходы в решении логарифмических уравнений
1
0
0
79
Контрольная работа: "Логарифмическая функция. Логарифмические
уравнения"
1
1
0
80
Синус, косинус, тангенс и котангенс числового аргумента
1
0
0
81
Синус, косинус, тангенс и котангенс числового аргумента
1
0
0
82
Арксинус, арккосинус и арктангенс числового аргумента
1
0
0
83
Арксинус, арккосинус и арктангенс числового аргумента
1
0
0
84
Тригонометрическая окружность, определение тригонометрических
функций числового аргумента
1
0
0
85
Тригонометрическая окружность, определение тригонометрических
функций числового аргумента
1
0
0
86
Основные тригонометрические формулы
1
0
0
87
Основные тригонометрические формулы
1
0
0
88
Основные тригонометрические формулы
1
0
0
89
Основные тригонометрические формулы
1
0
0
90
Преобразование тригонометрических выражений
1
0
0
91
Преобразование тригонометрических выражений
1
0
0
92
Преобразование тригонометрических выражений
1
0
0
№ Тема урока
п/п
Количество часов
Электронные цифровые
образовательные ресурсы
Всего Контрольные
работы
Практические
работы
93
Преобразование тригонометрических выражений
1
0
0
94
Решение тригонометрических уравнений
1
0
0
95
Решение тригонометрических уравнений
1
0
0
96
Решение тригонометрических уравнений
1
0
0
97
Решение тригонометрических уравнений
1
0
0
98
Решение тригонометрических уравнений
1
0
0
99
Решение тригонометрических уравнений
1
0
0
100 Решение тригонометрических уравнений
1
0
0
101 Контрольная работа: "Тригонометрические выражения и
тригонометрические уравнения"
1
1
0
102 Последовательности, способы задания последовательностей. Метод
математической индукции
1
0
0
103 Монотонные и ограниченные последовательности. История анализа
бесконечно малых
1
0
0
104 Арифметическая прогрессия
1
0
0
105 Геометрическая прогрессия
1
0
0
106 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
1
0
0
107 Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
1
0
0
№ Тема урока
п/п
Количество часов
Электронные цифровые
образовательные ресурсы
Всего Контрольные
работы
Практические
работы
108 Линейный и экспоненциальный рост. Число е. Формула сложных
процентов
1
0
0
109 Линейный и экспоненциальный рост. Число е. Формула сложных
процентов
1
0
0
110 Использование прогрессии для решения реальных задач прикладного
характера
1
0
0
111 Контрольная работа: "Последовательности и прогрессии"
1
1
0
112 Непрерывные функции и их свойства
1
0
0
113 Точка разрыва. Асимптоты графиков функций
1
0
0
114 Свойства функций непрерывных на отрезке
1
0
0
115 Свойства функций непрерывных на отрезке
1
0
0
116 Метод интервалов для решения неравенств
1
0
0
117 Метод интервалов для решения неравенств
1
0
0
118 Метод интервалов для решения неравенств
1
0
0
119 Применение свойств непрерывных функций для решения задач
1
0
0
120 Применение свойств непрерывных функций для решения задач
1
0
0
121 Первая и вторая производные функции
1
0
0
122 Определение, геометрический смысл производной
1
0
0
№ Тема урока
п/п
Количество часов
Электронные цифровые
образовательные ресурсы
Всего Контрольные
работы
Практические
работы
123 Определение, физический смысл производной
1
0
0
124 Уравнение касательной к графику функции
1
0
0
125 Уравнение касательной к графику функции
1
0
0
126 Производные элементарных функций
1
0
0
127 Производные элементарных функций
1
0
0
128 Производная суммы, произведения, частного и композиции функций
1
0
0
129 Производная суммы, произведения, частного и композиции функций
1
0
0
130 Производная суммы, произведения, частного и композиции функций
1
0
0
131 Контрольная работа: "Производная"
1
1
0
132 Повторение, обобщение, систематизация знаний: "Уравнения"
1
0
0
133 Повторение, обобщение, систематизация знаний: "Функции"
1
0
0
134 Итоговая контрольная работа
1
1
0
135 Итоговая контрольная работа
1
1
0
136 Повторение, обобщение, систематизация знаний
1
0
0
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ
136
10
0
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА
ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧЕНИКА
• Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс/ Колягин Ю.М., Ткачева М.В.,
Федорова Н.Е. и другие, Акционерное общество «Издательство «Просвещение»
МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Пичурин Л. Ф. О тригонометрии и не только о ней: пособие для учащихся
Рослова Л. О. Алексеева Е. Е., Буцко Е. В., Карамова И. И. Математика
(углубленный уровень). Реализация требований ФГОС основного общего
образования: методическое пособие для учителя / Л. О. Рослова,
Е. Е. Алексеева, Е. В. Буцко и др.; под ред. Л. О. Рословой. М.: ФГБНУ
«Институт стратегии развития образования», 2022. – 143 с.
9–11 кл. – М.: Просвещение, 1996. – 80 с.
ЦИФРОВЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕСУРСЫ И РЕСУРСЫ СЕТИ ИНТЕРНЕТ
Сайт: https://zadachi.mccme.ru/2012/local.html
Сайт https://math.ru
Сайт: https://sochisirius.ru/
Рабочая программа по алгебре и началам анализа
Класс 11
Количество часов: 136ч (4 часа в неделю)
Углубленный уровень.
Планирование составлено на основе «Математика. Программы. 5-11 класс.»
Автор программы: А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир и др.. Издательство «Вентана-Граф», 2017г.
Учебник: «Алгебра и начала математического анализа.11класс. Базовый уровень ».
Авторы: А. Г. Мерзляк, Д.А.Номировский, В.Б. Полонский, М.С.Якир. Издательство «Вентана-Граф», 2017.
Учитель: Булдакова С.В.
г.Невьянск
2023 г.
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Рабочая программа курса математики для 11 класса составлена в соответствии с Законом РФ от 29 декабря 2012 года № 273-ФЗ «Об образовании
в Российской Федерации», требованиями ФК ГОС общего образования, Приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 31
декабря 2015 г. № 1577 «О внесении изменений в федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования,
утвержденный приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 17 декабря 2010 г. № 1897», учебным планом МБУ «Гимназия
№35» на 2018—2019 учебный год.
В основу разработки программы положена авторская программа: Математика: программы 5-11 классы /А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир,
Д.А. Номировский, Е.В. Буцко. - М.: Вентана-Граф, 2017.
Программа обеспечена УМК по алгебре для 11 классов авторов А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир, Д.А. Номировский, Е.В. Буцко.
Учебный курс построен на основе Федерального государственного образовательного стандарта с учётом Концепции математического
образования и ориентирован на требования к результатам образования, содержащимся в Примерной основной образовательной программе основного
общего образования. В нём также учитываются доминирующие идеи и положения программы развития и формирования универсальных учебных
действий для основного общего образования, которые обеспечивают формирование российской гражданской идентичности, коммуникативных качеств
личности и способствуют формированию ключевой компетенции — умения учиться.
Программа по алгебре и началам математического анализа направлена на реализацию системно-деятельностного подхода к процессу обучения,
который обеспечивает:
• построение образовательного процесса с учётом индивидуальных возрастных, психологических, физиологических особенностей и здоровья
обучающихся;
• формирование готовности обучающихся к саморазвитию и непрерывному образованию;
• формирование активной учебно-познавательной деятельности обучающихся;
• формирование позитивного отношения к познанию научной картины мира;
• осознанную организацию обучающимися своей деятельности, а также адекватное её оценивание;
• построение развивающей образовательной среды обучения.
Изучение алгебры и начал математического анализа направлено на достижение следующих целей:
• системное и осознанное усвоение курса алгебры и начал математического анализа;
и формирование математического стиля мышления, включающего в себя индукцию и дедукцию, обобщение и конкретизацию, анализ и синтез,
классификацию и систематизацию, абстрагирование и аналогию;
• развитие интереса обучающихся к изучению алгебры и начал математического анализа;
• использование математических моделей для решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин;
• приобретение опыта осуществления учебно-исследовательской, проектной и информационно-познавательной деятельности;
• развитие индивидуальности и творческих способностей, направленное на подготовку выпускников к осознанному выбору профессии.
Учебный предмет «Алгебра и начала математического анализа» входит в перечень учебных предметов, обязательных для изучения в средней
общеобразовательной школе. Данная программа предусматривает изучение предмета на базовом уровне.
Программа реализует авторские идеи развивающего обучения алгебре и началам математического анализа, которое достигается особенностями
изложения теоретического материала и системой упражнений на сравнение, анализ, выделение главного, установление связей, классификацию,
обобщение и систематизацию.
Общая характеристика курса
Содержание курса алгебры и начал математического анализа в 10—11 классах представлено в виде следующих содержательных разделов: «Числа и
величины», «Выражения», «Уравнения и неравенства», «Функции», «Элементы математического анализа», «Вероятность и статистика. Работа с
данными», «Алгебра и начала математического анализа в историческом развитии».
В разделе «Числа и величины» расширяется понятие числа, которое служит фундаментом гибкого и мощного аппарата, используемого в решении
математических задач и в решении задач смежных дисциплин. Материал данного раздела завершает содержательную линию школьного курса математики
«Числа и величины».
Особенностью раздела «Выражения» является то, что материал изучается в разных темах курса: «Показательная и логарифмическая функции»,
«Тригонометрические функции», «Степенная функция». При изучении этого раздела формируется представление о прикладном значении математики,
о первоначальных принципах вычислительной математики. В задачи изучения раздела входит развитие умения решать задачи рациональными методами,
вносить необходимые коррективы в ходе решения задачи.
Особенностью раздела «Уравнения и неравенства» является то, что материал изучается в разных темах курса: «Показательная и логарифмическая
функции», «Тригонометрические функции», «Степенная функция». Материал данного раздела носит прикладной характер и учитывает взаимосвязь
системы научных знаний и метода познания — математического моделирования, представляет широкие возможности для развития алгоритмического
мышления, обеспечивает опыт продуктивной деятельности для развития мотивации к обучению и интеллекта.
Раздел «Функции» расширяет круг элементарных функций, изученных в курсе алгебры 7—9 классов, а также методов их исследования. Целью
изучения данного раздела является формирование умения соотносить реальные зависимости из окружающей жизни и из смежных дисциплин с
элементарными функциями, использовать функциональные представления для решения задач. Соответствующий материал способствует развитию
самостоятельности в организации и проведении исследований, воображения и творческих способностей учащихся.
Материал раздела «Элементы математического анализа», включающий в себя темы «Производная и её применение» и «Интеграл и его применение»,
формирует представления об общих идеях и методах математического анализа. Цель изучения раздела — применение аппарата математического анализа
для решения математических и практических задач, а также для доказательства ряда теорем математического анализа и геометрии.
Содержание раздела «Вероятность и статистика. Работа с данными» раскрывает прикладное и практическое значение математики в современном
мире. Материал данного раздела способствует формированию умения воспринимать, представлять и критически анализировать информацию,
представленную в различных формах, пониманию вероятностного характера реальных зависимостей.
Раздел «Алгебра и начала математического анализа в историческом развитии» позволяет сформировать представление о культурных и
исторических факторах становления математики как науки, о ценности математических знаний и их применении в современном мире, о связи научного
знания и ценностных установок.
Личностные, метапредметные и предметные результаты освоения содержания курса алгебры и начал математического анализа
Изучение алгебры и начал математического анализа по данной программе способствует формированию у учащихся личностных, метапредметных
и предметных результатов обучения, соответствующих требованиям Федерального государственного образовательного стандарта среднего общего
образования.
Личностные результаты:
1) воспитание российской гражданской идентичности: патриотизма, уважения к Отечеству, осознание вклада отечественных учёных в развитие мировой
науки;
2) формирование мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и общественной практики;
3) ответственное отношение к обучению, готовность и способность к саморазвитию и самообразованию на протяжении всей жизни; сознательное
отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности;
4) осознанный выбор будущей профессиональной деятельности на базе ориентировки в мире профессий и профессиональных предпочтений; отношение
к профессиональной деятельности как к возможности участия в решении личных, общественных, государственных и общенациональных проблем;
формирование уважительного отношения к труду, развитие опыта участия в социально значимом труде;
5) умение контролировать, оценивать и анализировать процесс и результат учебной и математической деятельности;
6) умение управлять своей познавательной деятельностью;
7) умение взаимодействовать с одноклассниками, детьми младшего возраста и взрослыми в образовательной, общественно полезной, учебноисследовательской, проектной и других видах деятельности;
8) критичность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении математических задач.
Метапредметные результаты:
1) умение самостоятельно определять цели своей деятельности, ставить и формулировать для себя новые задачи в учёбе;
2) умение соотносить свои действия с планируемыми результатами, осуществлять контроль своей деятельности в процессе достижения результата,
определять способы действий в рамках предложенных условий и требований, корректировать свои действия в соответствии с изменяющейся
ситуацией;
3) умение самостоятельно принимать решения, проводить анализ своей деятельности, применять различные методы познания;
4) владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности;
5) формирование понятийного аппарата, умения создавать обобщения, устанавливать аналогии, классифицировать, самостоятельно выбирать
основания и критерии для классификации;
6) умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение (индуктивное, дедуктивное и по аналогии) и
делать выводы;
7) формирование компетентности в области использования информационно-коммуникационных технологий;
8) умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни;
9) умение самостоятельно осуществлять поиск в различных источниках, отбор, анализ, систематизацию и классификацию информации, необходимой
для решения математических проблем, представлять её в понятной форме; принимать решение в условиях неполной или избыточной, точной или
вероятностной информации; критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников;
10) умение использовать математические средства наглядности (графики, таблицы, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации;
11) умение выдвигать гипотезы при решении задачи, понимать необходимость их проверки;
12) понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.
Предметные результаты:
1) осознание значения математики в повседневной жизни человека;
2) представление о математической науке как сфере математической деятельности, об этапах её развития, о её значимости для развития цивилизации;
3) умение описывать явления реального мира на математическом языке; представление о математических понятиях и математических моделях как о
важнейшем инструментарии, позволяющем описывать и изучать разные процессы и явления;
4) представление об основных понятиях, идеях и методах алгебры и математического анализа;
5) представление о процессах и явлениях, имеющих вероятностный характер, о статистических закономерностях в реальном мире, об основных понятиях
элементарной теории вероятностей; умение находить и оценивать вероятности наступления событий в простейших практических ситуациях и
основные характеристики случайных величин;
6) владение методами доказательств и алгоритмами решения; умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;
7) практически значимые математические умения и навыки, способность их применения к решению математических и нематематических задач,
предполагающие умение:
• выполнять вычисления с действительными и комплексными числами;
• решать рациональные, иррациональные, показательные, степенные и тригонометрические уравнения, неравенства, системы уравнений и
неравенств;
• решать текстовые задачи арифметическим способом, с помощью составления и решения уравнений, систем уравнений и неравенств;
• использовать алгебраический язык для описания предметов окружающего мира и создания соответствующих математических моделей;
• выполнять тождественные преобразования рациональных, иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических выражений;
• выполнять операции над множествами;
• исследовать функции с помощью производной и строить их графики;
• вычислять площади фигур и объёмы тел с помощью определённого интеграла;
• проводить вычисления статистических характеристик, выполнять приближённые вычисления;
• решать комбинаторные задачи;
8) владение навыками использования компьютерных программ при решении математических задач.
Место курса алгебры и начал математического анализа в базисном учебном плане
В базисном учебном (образовательном) плане на изучение алгебры и начал математического анализа в 10— 11 классах основной школы отведено 4
учебных часа в неделю в течение каждого года обучения.
Планируемые результаты обучения
алгебре и началам математического анализа
Числа и величины
Выпускник научится:
• оперировать понятием «радианная мера угла», выполнять преобразования радианной меры в градусную и градусной меры в радианную;
• оперировать понятием «комплексное число», выполнять арифметические операции с комплексными числами;
• изображать комплексные числа на комплексной плоскости, находить комплексную координату числа.
Выпускник получит возможность:
• использовать различные меры измерения углов при решении геометрических задач, а также задач из смежных дисциплин;
• применять комплексные числа для решения алгебраических уравнений.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Выражения
Выпускник научится:
оперировать понятиями корня n-й степени, степени с рациональным показателем, степени с действительным показателем, логарифма;
применять понятия корня n-й степени, степени с рациональным показателем, степени с действительным показателем, логарифма и их свойства в
вычислениях и при решении задач;
выполнять тождественные преобразования выражений, содержащих корень n-й степени, степени с рациональным показателем, степени с
действительным показателем, логарифм;
оперировать понятиями: косинус, синус, тангенс, котангенс угла поворота, арккосинус, арксинус, арктангенс и арккотангенс;
выполнять тождественные преобразования тригонометрических выражений.
Выпускник получит возможность:
выполнять многошаговые преобразования выражений, применяя широкий набор способов и приёмов;
применять тождественные преобразования выражений для решения задач из различных разделов курса.
Уравнения и неравенства
Выпускник научится:
решать иррациональные, тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения, неравенства и их системы;
решать алгебраические уравнения на множестве комплексных чисел;
понимать уравнение как важнейшую математическую модель для описания и изучения разнообразных реальных ситуаций, решать текстовые задачи
алгебраическим методом;
применять графические представления для исследования уравнений.
Выпускник получит возможность:
овладеть приёмами решения уравнений, неравенств и систем уравнений; применять аппарат уравнений для решения разнообразных задач из
математики, смежных предметов, практики;
применять графические представления для исследования уравнений, неравенств, систем уравнений, содержащих параметры.
Функции
•
•
•
•
•
Выпускник научится:
понимать и использовать функциональные понятия, язык (термины, символические обозначения);
выполнять построение графиков функций с помощью геометрических преобразований;
выполнять построение графиков вида y = n x , степенных, тригонометрических, обратных тригонометрических, показательных и логарифмических
функций;
исследовать свойства функций;
понимать функцию как важнейшую математическую модель для описания процессов и явлений окружающего мира, применять функциональный
язык для описания и исследования зависимостей между физическими величинами.
Выпускник получит возможность:
• проводить исследования, связанные с изучением свойств функций, в том числе с использованием компьютера;
• использовать функциональные представления и свойства функций для решения задач из различных разделов курса математики.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Элементы математического анализа
Выпускник научится:
понимать терминологию и символику, связанную с понятиями производной, первообразной и интеграла;
решать неравенства методом интервалов;
вычислять производную и первообразную функции;
использовать производную для исследования и построения графиков функций;
понимать геометрический смысл производной и определённого интеграла;
вычислять определённый интеграл.
Выпускник получит возможность:
сформировать представление о пределе функции в точке;
сформировать представление о применении геометрического смысла производной и интеграла в курсе математики, в смежных дисциплинах;
сформировать и углубить знания об интеграле.
Вероятность и статистика.
Работа с данными
•
•
•
•
•
•
•
Выпускник научится:
решать комбинаторные задачи на нахождение количества объектов или комбинаций;
применять формулу бинома Ньютона для преобразования выражений;
использовать метод математической индукции для доказательства теорем и решения задач;
использовать способы представления и анализа статистических данных;
выполнять операции над событиями и вероятностями.
Выпускник получит возможность:
научиться специальным приёмам решения комбинаторных задач;
характеризовать процессы и явления, имеющие вероятностный характер.
Содержание курса
Числа и величины
Радианная мера угла. Связь радианной меры угла с градусной мерой.
Расширение понятия числа: натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные числа. Комплексные числа и их геометрическая
интерпретация. Сопряжённые комплексные числа. Действительная и мнимая части, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и
тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Арифметические операции с комплексными числами. Натуральная степень комплексного
числа. Формула Муавра.
Выражения
Корень n-й степени. Арифметический корень n-й степени. Свойства корня n-й степени. Тождественные преобразования выражений, содержащих корни
n-й степени. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня.
Степень с рациональным показателем. Свойства степени с рациональным показателем. Тождественные преобразования выражений, содержащих
степени с рациональным показателем.
Косинус, синус, тангенс, котангенс угла поворота. Основные соотношения между косинусом, синусом, тангенсом и котангенсом одного и того же
аргумента. Формулы сложения. Формулы приведения. Формулы двойного и половинного углов. Формулы суммы и разности синусов (косинусов).
Формулы преобразования произведения сумму. Тождественные преобразования выражений, содержащих косинусы, синусы, тангенсы и котангенсы.
Арккосинус, арксинус, арктангенс, арккотангенс. Простейшие свойства арккосинуса, арксинуса, арктангенса, арккотангенса.
Степень с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем. Тождественные преобразования выражений, содержащих
степени с действительным показателем.
Логарифм. Свойства логарифмов. Тождественные преобразования выражений, содержащих логарифмы.
Уравнения и неравенства
Область определения уравнения (неравенства). Равносильные уравнения (неравенства). Равносильные преобразования уравнений (неравенств).
Уравнение-следствие (неравенство-следствие). Посторонние корни.
Иррациональные уравнения (неравенства). Метод равносильных преобразований для решения иррациональных уравнений (неравенств). Метод
следствий для решения иррациональных уравнений.
Тригонометрические уравнения (неравенства). Основные тригонометрические уравнения (неравенства) и методы их решения. Тригонометрические
уравнения, сводящиеся к алгебраическим. Однородные уравнения первой и второй степеней. Решение тригонометрических уравнений методом
разложения на множители.
Показательные уравнения (неравенства). Равносильные преобразования показательных уравнений (неравенств). Показательные уравнения
(неравенства), сводящиеся к алгебраическим.
Логарифмические уравнения (неравенства). Равносильные преобразования логарифмических уравнений (неравенств). Логарифмические уравнения
(неравенства), сводящиеся к алгебраическим.
Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел. Основная теорема алгебры.
Функции
Наибольшее и наименьшее значения функции. Чётные и нечётные функции. Свойства графиков чётной и нечётной функций.
Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований (параллельных переносов, сжатий, растяжений, симметрий).
Обратимые функции. Связь возрастания и убывания функции с её обратимостью. Взаимно обратные функции. Свойства графиков взаимно обратных
функций.
Степенная функция. Степенная функция с натуральным (целым) показателем. Свойства степенной функции с натуральным (целым) показателем.
График степенной функции с натуральным (целым) показателем. Функция y = n x . Взаимообратность функций y = n x и степенной функции с
натуральным показателем. Свойства функции y = n x и её график.
Периодические функции. Период периодической функции. Главный период. Свойства графика периодической функции.
Тригонометрические функции: косинус, синус, тангенс, котангенс. Знаки значений тригонометрических функций. Чётность и нечётность
тригонометрических функций. Периодичность тригонометрических функций. Свойства тригонометрических функций. Графики тригонометрических
функций.
Обратные тригонометрические функции. Свойства обратных тригонометрических функций и их графики.
Показательная функция. Свойства показательной функции и её график.
Логарифмическая функция. Свойства логарифмической функции и её график.
Элементы математического
анализа
Предел функции в точке. Непрерывность. Промежутки знакопостоянства непрерывной функции. Непрерывность рациональной функции. Метод
интервалов.
Задачи, приводящие к понятию производной. Производная функции в точке. Таблица производных. Правила вычисления производных. Механический
и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Признаки возрастания и убывания функции. Точки экстремума
функции. Метод нахождения наибольшего и наименьшего значений функции. Построение графиков функций.
Первообразная функция. Общий вид первообразных. Неопределённый интеграл. Таблица первообразных функций. Правила нахождения
первообразной функции. Определённый интеграл. Формула Ньютона — Лейбница. Методы нахождения площади фигур и объёма тел, ограниченных
данными линиями и поверхностями.
Вероятность и статистика.
Работа с данными
Повторение. Решение задач на табличное и графическое представление данных. Использование свойств и характеристик числовых наборов:
средних, наибольшего и наименьшего значений, размаха, дисперсии. Решение задач на определение частоты и вероятности событий. Вычисление
вероятностей в опытах с равновозможными элементарными исходами. Решение задач с применением комбинаторики. Решение задач на вычисление
вероятностей независимых событий, применение формулы сложения вероятностей. Решение задач с применением диаграмм Эйлера, дерева
вероятностей, формулы Бернулли.
Условная вероятность. Правило умножения вероятностей. Формула полной вероятности.
Дискретные случайные величины и распределения. Независимые случайные величины. Распределение суммы и произведения независимых случайных
величин.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия суммы случайных величин.
Геометрическое распределение. Биномиальное распределение и его свойства.
Непрерывные случайные величины. Понятие о плотности вероятности. Равномерное распределение. Показательное распределение, его параметры.
Понятие о нормальном распределении. Параметры нормального распределения. Примеры случайных величин, подчинённых нормальному закону
(погрешность измерений, рост человека).
Неравенство Чебышёва. Теорема Бернулли. Закон больших чисел.
Выборочный метод измерения вероятностей. Роль закона больших чисел в науке, природе и обществе.
Ковариация двух случайных величин. Понятие о коэффициенте корреляции. Совместные наблюдения двух случайных величин. Выборочный
коэффициент корреляции.
Алгебра и начала математического анализав
историческом развитии
Развитие идеи числа, появление комплексных чисел и их применение. История возникновения дифференциального и интегрального исчисления.
Полярная система координат. Элементарное представление о законе больших чисел.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
(4 часа в неделю, всего 136 часов)
Номер
параграфа
Содержание учебного
материала
Количест
во часов
Глава 1
Показательная и логарифмическая функции
40
Повторение
4
1
Степень с произвольным
действительным показателем.
Показательная функция
4
2
Показательные уравнения
4
3
Показательные неравенства
4
4
Контрольная работа №1
1
5
Логарифм и его свойства
5
6
Логарифмическая функция и ее
свойства
5
7
Логарифмические уравнения
4
8
Логарифмические неравенства
4
9
Производные показательной и
логарифмической функций
4
10
Контрольная работа №2
1
Характеристика основных видов деятельности ученика
(на уровне учебных действий)
Формулировать определение показательной функции. Описывать свойства
показательной функции, выделяя случай основания, большего единицы, и случай
положительного основания, меньшего единицы. Преобразовывать выражения,
содержащие степени с действительным показателем. Строить графики функций на
основе графика показательной функции.
Распознавать показательные уравнения и неравенства. Формулировать теоремы о
равносильном преобразовании показательных уравнений и неравенств. Решать
показательные уравнения и неравенства.
Формулировать определение логарифма положительного числа по
положительному основанию, отличному от единицы, теоремы о свойствах
логарифма. Преобразовывать выражения, содержащие логарифмы.
Формулировать определение логарифмической функции и описывать ее свойства,
выделяя случай основания, большего единицы, и случай основания, меньшего
единицы. Доказывать, что показательная и логарифмическая функции являются
взаимно обратными. Строить графики функций на основе логарифмической
функции.
Распознавать логарифмические уравнения и неравенства. Формулировать теоремы
о равносильном преобразовании логарифмических уравнений и неравенств.
Решать логарифмические уравнения и неравенства.
Формулировать определение числа е, натурального логарифма. Находить
производные функций, содержащих показательную функцию, логарифмическую
функцию, степенную функцию с действительным показателем.
Номер
параграфа
Содержание учебного
материала
Глава 2
Интеграл и его применение
Количест
во часов
15
11
Первообразная
3
12
Правила нахождения первообразной
4
13
Площадь криволинейной трапеции.
Определенный интеграл
5
14
Вычисление объемов тел
2
15
Контрольная работа №3
1
Глава 3
Элементы комбинаторики. Бином Ньютона
Характеристика основных видов деятельности ученика
(на уровне учебных действий)
Формулировать определение первообразной функции, теорему об основном
свойстве первообразной, правила нахождения первообразной.
На основе таблицы первообразных и правил нахождения первообразных находить
первообразные, общий вид первообразных, неопределенный интеграл. По закону
изменения скорости движения материальной точки находить закон движения
материальной точки.
Формулировать теорему о связи первообразной и площади криволинейной
трапеции.
Формулировать определение определенного интеграла. Используя формулу
Ньютон-Лейбница, находить определенный интеграл, площади фигур,
ограниченных данными линиями.
Использовать определенный интеграл для нахождения объемов тел, в частности
объемов тел вращения.
16
16
Метод математической индукции
3
17
Перестановки, размещения
4
18
Сочетания (комбинации)
4
19
Бином Ньютона
4
20
Контрольная работа №4
1
Глава 4
Элементы теории вероятностей
13
21
Операции над событиями
3
22
Зависимые и независимые события
3
Использовать метод математической индукции при доказательстве равенств
(неравенств, утверждений о делимости целых чисел), зависящих от пременной,
принимающей натуральные значения.
Различать множества и упорядоченные множества. Формулировать определения
перестановки конечного множества, размещения из п элементов по к, сочетания
(комбинации) из п элементов по к. Вычислять количество перестановок конечного
множества, размещений из п элементов по к, а также количество сочетаний из п
элементов по к.
Применять формулу бинома Ньютона и треугольника Паскаля для сокращенного
умножения
Формулировать определения несовместных событий, объединения и пересечения
событий, дополнения события. Используя формулу вероятности объединения двух
Номер
параграфа
Содержание учебного
материала
Количест
во часов
Характеристика основных видов деятельности ученика
(на уровне учебных действий)
несовместных событий, формулу, связывающую вероятности объединения и
пересечения двух событий, формулу вероятности дополнения события, находить
вероятности событий.
Формулировать определения зависимых и независимых событий, условной
вероятности. Используя теоремы о вероятности пересечения двух зависимых и
независимых событий, теорему о вероятности пересечения нескольких
независимых событий, находить вероятности событий.
Распознавать вероятностные эксперименты, описываемые с помощь схемы
Бернулли. Находить вероятность события, состоящего в том, что в схеме Бернулли
успехом завершится данное количество испытаний. Формулировать определения
случайной величины и множества ее значений. Для случайной величины с
конечным множеством значений формулировать определения распределения
случайной величины и ее математического ожидания. Находить математическое
ожидание случайной величины по ее распределению. Использовать выводы
теории вероятности в задачах с практическим жизненным содержанием.
23
Схема Бернулли
5
24
Случайные величины и их
характеристики
1
25
Контрольная работа №5
1
Повторение курса алгебры
и начал математического анализа
52
Повторение и систематизация
учебного материала
50
Итоговая контрольная работа
1
Анализ контрольной работы
1
